从零开始的高等数学（二）：导数与微分

微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分

导数与微分

导数的定义

若在$x0 $的某个领域内有定义$ x_0 $取$ \Delta x\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) $如果$ \lim\limits{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} $存在则说$ f(x) $在$ x0 $处可导记做$ f’(x)y’|{x=x0} $或$ \frac{dy}{dx}|{x=x_0}$

常用求导公式
单侧导数
- 左导数
  
  $f’-(x_0)=\lim\limits{h\to0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
- 右导数
  
  $f+’(x_0)=\lim\limits{h\to0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
例：对于: $f+’(0)=1\ f’{-}(0)=-1 $左右导数不相等因此该函数在$ x_0=0$处不可导.

导数的几何意义

过上的一点

切线:
法线:

函数可导性与连续性的关系

可导一定连续, 连续不一定可导

和、差、积、商

反函数求导

略

复合函数求导法则

层层求导后求乘积

导数公式表

略

高阶导数

求次导数

隐函数求导

两边同时对求导

函数的微分

微分的定义

对于, 当, 函数变化的精确值可以表示成一个近似值, 不依赖, 则称在处可微. 记做.

相对来说是一个常数.

可导一定可微，可微一定可导

, 导数可以看成两个微分的伤

微分公式与法则

略