🚧 从零开始的高等数学（三）：微分中值定理与导数的应用

本章将应用导数来研究函数以及曲线的某些特性，并利用这些知识解决一些问题。

微分中值定理

【费马引理】在邻域有定义, 且在处可导. 如果(或) , 则. 即该领域的极值.

驻点：导数值为0的点

罗尔中值定理

若满足

1. 在连续
2. 在可导

则使得

拉格朗日中值定理

若满足

1. 在连续
2. 在可导

则使得

柯西中值定理

若和满足：

1. 连续
2. (a,b)可导
3. 使得

则使得

洛必达法则

解决

【定理一】

当满足:

1. 时,
2. 在的去心邻域内和存在, 且
3. 存在或者为

则$\lim\limits{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)} = \lim\limits{x\to a} \frac{f’(x)}{F’(x)}$

• $\lim\limits{x \to 0}\frac{\sin ax}{\sin bx}(b \neq 0) = \lim\limits{x \to 0}\frac{a\cos ax}{b \cos bx} = \frac{a}{b}$

• $\lim\limits{x\to1}\frac{x^3 - 3x +2}{x^3 - x^2 -x +1} = \lim\limits{x\to1} \frac{3x^2 - 3}{3x^2 - 2x - 1} = \lim\limits_{x\to1}\frac{6x}{6x-2} = \frac{3}{2}$

【定理二】

当满足:

1. 时,
2. 在的去心邻域内和存在, 且
3. 存在或者为

则$\lim\limits{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)} = \lim\limits{x\to a} \frac{f’(x)}{F’(x)}$

• $\lim\limits{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x^n} = \lim\limits{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{nx^{n-1}} = \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{1}{nx^n} = 0$
• $\lim\limits{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^{\lambda x}}(n正整数,\lambda>0) = \lim\limits{x \to +\infty}\frac{nx^{n-1}}{\lambda e^{\lambda x}} = \lim\limits{x \to +\infty}\frac{n(n-1)x^{n-2}}{\lambda^2 e^{\lambda x}} = \lim\limits{x \to +\infty}\frac{n!}{\lambda^n e^{\lambda x}} = 0$
• $\lim\limits{x\to 0^+}x^x = \lim\limits{x\to 0^+}e^{x\ln x} = \lim\limits{x\to 0^+} e^{\frac{ln x}{\frac{1}{x}}} = \lim\limits{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim\limits_{x\to 0^+}e^{-x} = 1$
• $\lim\limits{x\to0}\frac{\tan x -x}{x^2\sin x}=\lim\limits{x\to0}\frac{\tan x - x}{x^3}(等价无穷小替换) = \lim\limits{x\to0}\frac{\sec^2 x - 1}{3x^2}=\lim\limits{x\to0}\frac{2\sec x \cdot \sec x \cdot \tan x}{6x}=\frac{1}{3}\lim\limits{x\to0}\sec^2 x\lim\limits{x\to0}\frac{\tan x}{x} = \frac{1}{3}$

泰勒公式

【泰勒中值定理一】

在处具有阶导数, 的一个邻域, 使得:

$Rn(x) = \frac {f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}|{\xi \in (x,x_0)}$ 称为拉格朗日余项

当时,

当$x0 = 0f(x) = f(0) + \frac{f’(0)}{1!}x + \frac{f’’(0)}{2!}x^2+…+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}|{0<\theta<1}$ 即马克劳林公式.

• 展成马克劳林