从零开始的高等数学（一）：函数与极限

所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法

函数

函数的概念

设数集, 则称映射为定义在上的函数, 通常记为：

其中成为自变量, 称为因变量, 称为定义域, 记做. 函数值的全体集合称为函数的值域, 记做或.

函数的几种特性

1. 有界性

   • 上界: 使得;
   • 下界: 使得;
   • 有界: 使得

2. 单调性

   • 单调增: 有
   • 单调减: 有

3. 奇偶性

   当关于原点对时

   • 偶函数: , 图像关于轴对称
   • 奇函数: , 图像关于原点对称

4. 周期性

   使得. 值得注意的是并非每个周期函数都有最小周期, 例如:

反函数

设单射, 反函数. 此外, 若存在单调性, 的单调性与保持一致.

函数的极限

函数极限的定义

1. 自变量趋于有限时函数的极限

   • 在的去心领域内有定义(在处可以没有定义)

   • $\exists A:\ \forall \epsilon > 0 \exists \delta>0\text{使得}0<\left| x-x0 \right|<\delta时,\left| f(x)-A \right| < \epsilon\lim\limits{x \to x_0}f(x) = A$

2. 自变量趋于无穷

函数极限的性质

1. 函数极限的唯一性

2. 局部有界性

3. 局部保号性

   中，有时, 有, 则

4. 函数极限与数列极限的关系

   现有$\lim\limits{x \to x_0}f(x) = A{x_n} \to x_0\lim\limits{n \to \infty}f(xn) = \lim\limits{x \to x_0}f(x)$

   注意, 若数列极限存在, 函数极限不一定存在, 因为数列只是一个子集, 不能保证全集都收敛。

无穷小与无穷大

1. 无穷小被定义为无限趋近为0, 值得注意的是0也是无穷小的, 也不要把无穷小和很小的数混为一谈, 不是无穷小，因此常数中只有0是无穷小的
2. 无穷大为趋近为或

极限的运算法则

1. 两个无穷小的和/差是无穷小, 有限个无穷小的和也是无穷小
2. 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小, 例如:

3. 极限都存在的情况下, $\left{\right.$

5. 有

极限存在的准则 两个重要极限

准则

1. 对于数列, 满足以下条件时

   • $\exists n0 \in \mathbb N+n>n_0时y_n \leq x_n \leq z_n$
   • $\lim\limits{n \to \infty}y_n=a\ \lim\limits{n \to \infty}z_n =a$

   有

   该定理为夹逼定理

2. 单调有界数列必有极限

   收敛必有界，有界不一定收敛

重要极限

1. • 例: $\lim\limits{x \to 0} \frac{sinx}{sin2x} = \lim\limits{x \to 0}\frac{\frac{sinx}{x}}{\frac{sin2x}{2x}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
   • 例: $\lim\limits{x \to 0} \frac{tanx}{x} = \lim\limits{x \to 0}\frac{sinx}{x}\frac{1}{cosx} = 1$
   • 例: $\lim\limits{x\to0}\frac{arcsinx}{x} = \lim\limits{t\to0}\frac{t}{sint}=1t=arcsin x$

   也成立

2. • 例: $\lim\limits{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^{x} = \lim\limits{x\to\infty}((1+\frac{1}{-x})^{-x})^{-1}=e^{-1}$
   • 例:

   变体:

无穷小的比较

1. 对于两个无穷小, 当: , 称是的高阶无穷小, 记做.

2. 对于两个无穷小, 当: , 称是的低阶无穷小

3. 对于两个无穷小, 当: , 称是的同阶无穷小

4. 对于两个无穷小, 当: , 称是的阶无穷小

5. 对于两个无穷小, 当: , 称是的等价无穷小, 记做. 两个无穷小相除或多个无穷小连续相乘可以用等价无穷下替换

   • 例: $\lim\limits{x\to0}\frac{tan2x}{sin5x} = \lim\limits{x\to0}\frac{2x}{5x} = \frac{2}{5}$

函数的连续性与间断点

连续性定义:

间断的定义:

1. 在无定义
2. 不存在